arkos u

casos de factorizacion por natacha aguilar

primer caso

Este es el primer caso tomado del algebra de baldor de los casos de factorizacion y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:

x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)

a) Factor común monomio
Ejemplos descritos de factorizacion del algebra de baldor:

1. Descomponer en factores a^2 + 2a.
a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)

2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2 .
Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab
y tendremos:

10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab).

Ejercicios:

Factorar o descomponer en dos factores:
1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1)

2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)

3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).

En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:
34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numéricos.

Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.

4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 )

5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)

Caso 2

Baldor Factorizacion:Factor comun por agrupación de terminos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)

= a(b + c) + d(b + c)

= (a + d) (b + c)

Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupación de terminos)Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de terminos es:

1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.

2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos:

ab + ac + bd + dc

agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc)

aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor comun (b + c)

es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.

3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupación de términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que están fuera de los factores comunes.

son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)

por ultimo colocamos los factores comunes
dándonos como resultado (a+d) (b+c)

Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:

Resolviendo nos queda:

2ab + 2a - b - 2ac + c - 1

(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)

2a(b - c + 1) - (b - c + 1)

(b - c + 1) (2a - 1)

Ejemplos Descritos de factorizacion:
Descomponer : ax + bx + ay + by:
Los dos primeros términos tienen el factor comun x y los dos últimos el factor comun y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

= x(a + b) + y(a + b)

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor comun, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor comun en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)

= a(x + y) + b (x + y)

= (a + b) (x + y)

Ejercicios:

1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2

(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 )

x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )

(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 )

2) x^2 – a^2 + x – a^2 x

(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x)

x(x + 1) – a^2 (1 + x)

(x + 1) (x – a^2 )

3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx

(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm)

ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m)

(4a^2 – 3m ) (ax – b)

En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los términos, ya que una vez al agrupar los dos términos deben dar el

mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 – xy – y^2 ).

En este caso como vemos, agrupamos los términos correspondiente y nos da como respuesta

(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a).

La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera en que podamos agrupar los términos para que nos pueda dar el mismo factor comun y así se pueda realizar el ejercicio

Caso 3
Trinomio cuadrado perfecto
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado

Ejemplos descritos:
Factoraizar: m^2 + 2m + 1

m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2

Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy

Ordenando el trinomio, tenemos:4x^2 – 20xy + 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2

Importante:
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo anterior se tendrá también:

4x^2 – 20xy + 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2

Porque desarrollando este binomio se tiene:

(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2

Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.

Caso 4

Factorizacion: Diferencia de cuadrados perfectos

Regla para factorar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .

1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y que el segundo término este precedido del signo - ejemplo:

m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el primer

termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4.

Ejemplos descriptivos de factorizacion:
Factorizar: 1 – a^2

La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:

1 – a^2 = (1 + a) (1 – a)

Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12

49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 )

Factorizar o descomponer en dos factores.

1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5)

2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b)

3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10)

4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx)

Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.

Factorizar: (a + b) ^2 – c^2

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

Así, en este caso tenemos:

La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).

La raíz cuadrada de c^2 es c.

Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo:

(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c]

= (a + b + c) (a + b – c)

Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2

La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).

La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).

Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q + 2) y tengo:

(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]

= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y
queda.

= (p + 2q + 2) (p – 2).

Ejercicios del caso especial.

a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)]

= (a + b + c) (a – b + c)

(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)]

= (x – y + c + d) (x – y – c – d)

CASO 5 trinomio cuadrado

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer

términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada

exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

x²+ 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.

Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio

cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo

número (semejante al segundo término) para que el

segundo término sea el doble producto de las raíces

cuadradas del primer y último término. A este proceso

se le denomina completar cuadrados.

Ejemplo: m⁴ + 6m²+ 25.

Para que m⁴ + 6m²+ 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m². Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m² , pues 6m² + 4m² = 10m²

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la

expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y

después, como una diferencia de cuadrados.

EJERCICIO RESUELTO

Factorizar x⁴ + 3x² + 4

SOLUCIÓN

x⁴ + 3x² + 4

Raíz cuadrada de x⁴es x²

Raíz cuadrada de 4es 2

Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x² )(2)

= 4x²

El trinomio x⁴ + 3x² + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:

x⁴ + 3x² + 4

= x⁴ + 3x² + 4

+ x²- x²Se suma y se resta x²

^{----------------------------------------}

=(x⁴ + 4x² + 4) - x²Se asocia convenientemente

=(x² + 2)² - x²Se factoriza el trinomio cuadrado

perfecto

=[(x² + 2) - x] [(x² + 2) - x]Se factoriza la diferencia de

cuadrados

=(x² + 2 + x) (x² + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación

=(x² + x+ 2) (x² - x + 2) Se ordenan los términos de cada

factor.

Entonces: x⁴ + 3x² + 4 = (x² - x+ 2) (x² - x + 2)

CASO 6 TRINOMIO DE LA FORMA x^2 + bx + c

Expresiones como x² + 5x +6, a⁴ + 3a² - 10, son trinomios de la forma x² + bx + c.

Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del

primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que

aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Para factorizar un trinomio de la forma x² + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que,

x² + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c

Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al coeficiente del segundo término y

su producto sea el tercer término; los signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y para el segundo factor

se multiplican el signo del segundo término con el signo del tercer término.

EJERCICIOS RESUELTOS:

Factorizar.

1. x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

2. a⁴ - 7a² - 30 = (a² - 10)(a² + 3)

3. m² + abcm - 56a²b²c² = (m + 8abc)(m - 7abc)

CASO 7. TRINOMIO DE LA FORMA ax^2 + bx + c

Expresiones como 2x² + 3x - 2, 6a⁴ + 7a² + 2,

7m⁶ - 33m³ -10,

son trinomios de la forma ax² + bx + c.

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la

del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que

aparece en el primer y segundo términos del

trinomio.

Para factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c, existen varias formas, a continuación se describirá una de ellas.

EJERCICIOS

Factorizar 15x⁴ - 23x² + 4

=15(15x⁴ - 23x² + 4) Se multiplica y se divide el

15 trinomio por el coeficiente del

primer término.

=(15x²)²- 23(15x) + 60 Se resuelve el producto del

15 primero y tercer término dejando

indicado el del segundo

término.

=(15x² - 20)(15x² - 3) Se factoriza como en el caso del

15 trinomio de la forma x² + bx + c, o

sea, se buscan dos números que

multiplicados de 60 y sumados

23. (Se suman por que los

signos de los dos factores son

iguales)

=5(3x²- 4) 3(5x²- 1) Se factorizan los dos binomios

5 . 3 resultantes sacándoles factor

común monomio, se

descompone el 15 y por último

dividir,

15x⁴ - 23x² + 4 = (3x² - 4)(5x² - 1)

CASO 8. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si cumple las siguientes condiciones:

1). Tener cuatro términos

2). El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz

cúbica exacta).

3). El segundo término es tres veces el producto del cuadrado

de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del

último término.

4). El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del

primer término por el cuadrado de la raíz del último término.

5). El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el

cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo).

Si todos los términos son positivos, el polinomio dado es el

cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último

términos. Y si los términos son alternadamente positivos y negativos el polinomio dado es el cubo de la diferencia de las raíces.

RECUERDA: La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.

Ejemplo: La raíz cúbica de 8a³b⁶ es 2ab². Por qué:

(2ab²) = (2ab²)(2ab²)(2ab²) = 8a³b⁶

EJERCICIO:

Verificar si el siguiente polinomio es cubo perfecto y factorizarlo.

8x³ + 12x² + 6x + 1

Verificar si la expresión cumple con las anteriores características.

Tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de 8x³ es 2x

La raíz cúbica de 1 es 1

3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x², segundo término

3(2x)(1)² = 6x, tercer término

Cumple las condiciones y como todos sus términos son positivos, entonces la expresión dada es el cubo de (2x + 1) o (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión. Luego,

8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³

Verificar si el siguiente polinomio es cubo perfecto y factorizarlo.

8x⁶ + 54x²y⁶ - 27y⁹ - 36x⁴y³

Ordenando el polinomio, se tiene: 8x⁶ - 36x⁴y³+ 54x²y⁶- 27y⁹

Verificar si la expresión cumple con las anteriores características.

Tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de 8x⁶ es 2x²

La raíz cúbica de 27y⁹ es 3y³

3(2x²)²(3y³) = 3(4x⁴)(3y³) = 36x⁴y³, segundo término

3(2x²)(3y³)² = 3(2x²)(9y⁶) = 54x²y⁶, tercer término

Cumple las condiciones y como todos sus términos son alternadamente positivos y negativos, entonces la expresión dada es el cubo de (2x² - 3y³) o (2x² - 3y³) es la raíz cúbica de la expresión. Luego,

8x⁶ - 36x⁴y³+ 54x²y⁶- 27y⁹ = (2x² - 3y³)³

CASO 9. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

REGLA:

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas.

2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos

raíces, más el cuadrado de la segunda raíz

a³+ b³

Raíz cúbica del primer término a³es a

Raíz cúbica del primer término b³es b

a³+ b³ = (a + b)(a²- ab + b²)

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus raíces cúbicas.

2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos

raíces, más el cuadrado de la segunda raíz

a³- b³

Raíz cúbica del primer término a³es a

Raíz cúbica del primer término b³es b

a³- b³ = (a - b)(a²+ ab + b²)

FACTORIZAR:

1). 125 - w¹⁸z³⁶

Raíz cúbica del primer término 125 es 5

Raíz cúbica del primer término w¹⁸z³⁶es w⁶z¹²

125 - w¹⁸z³⁶= (5 - w⁶z¹²) [(5)² + (5)(w⁶z¹²) + (w⁶z¹²)²]

125 - w¹⁸z³⁶= (5 - w⁶z¹²) (25 + 5w⁶z¹² + w¹²z²⁴)

2). 27a³+ 8b⁶c⁹

Raíz cúbica del primer término 27a³ es 3a

Raíz cúbica del primer término 8b⁶c⁹ es 2b²c³

27a³+ 8b⁶c⁹ = (3a+ 2b²c³)[(3a)²- (3a)(2b²c³)+ ( 2b²c³)²]

27a³+ 8b⁶c⁹ = (3a+ 2b²c³) (9a²- 6ab²c³+ 4b⁴c⁶)

Caso 10 de Factorización Suma o Diferencia de Dos Potencias Iguales

EJEMPLOS
CASO 10 DE FACTORIZACION
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Ejemplo 1 Ejemplo 2 Identificamos que:
* Siempre son dos termino
* Se suma o se restan
* Los términos están elevados a la 5, 7 o a una potencia impar. Abrimos dos juegos de paréntesis que se multiplican entre si. Hallamos la raíz de los dos términos de acuerdo a la potencia a la que ese elevado el termino (5, 7 o impar) El Resultado lo ubicamos en el primer paréntesis, en esta caso que es una SUMA, los unimos con el signo de la suma En el segundo paréntesis ubicamos un polinomio, donde el primer termino va decreciendo en su potencia a medida que el segundo termino crece en ella (comenzando y terminando en la potencia anterior a la original) Como es una SUMA los signos dentro del paréntesis van intercalados Unimos los dos paréntesis y ese es el resultado de la factorización Identificamos que:
* Siempre son dos termino
* Se suma o se restan
* Los términos están elevados a la 5, 7 o a una potencia impar. Abrimos dos juegos de paréntesis que se multiplican entre si. Hallamos la raíz de los dos términos de acuerdo a la potencia a la que ese elevado el termino (5, 7 o impar) El Resultado lo ubicamos en el primer paréntesis, en esta caso que es una RESTA, los unimos con el signo de la resta En el segundo paréntesis ubicamos un polinomio, donde el primer termino va decreciendo en su potencia a medida que el segundo termino crece en ella (comenzando y terminando en la potencia anterior a la original) Como es una RESTA los signos dentro del paréntesis van sumando Unimos los dos paréntesis y ese es el resultado de la factorización Ejemplo 3 Identificamos que:
* Siempre son dos termino
* Se suma o se restan
* Los términos están elevados a la 5, 7 o a una potencia impar. Abrimos dos juegos de paréntesis que se multiplican entre si. Hallamos la raíz de los dos términos de acuerdo a la potencia a la que ese elevado el termino (5, 7 o impar) El Resultado lo ubicamos en el primer paréntesis, en esta caso que es una RESTA, los unimos con el signo de la resta En el segundo paréntesis ubicamos un polinomio, donde el primer termino va decreciendo en su potencia a medida que el segundo termino crece en ella (comenzando y terminando en la potencia anterior a la original) Como es una RESTA los signos dentro del paréntesis van sumando Unimos los dos paréntesis y ese es el resultado de la factorización

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